Question

13．已知a∈R，命題p：“?x∈[0，2]，2^x-4^x+a≤0均成立”，命題q：“函數(shù)f（x）=ln（x²+ax+1）定義域?yàn)镽”，
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=2^x，t∈[1，4]，y=t-t²+a≤0恒成立，分離參數(shù)，求出y的最小值，即可．
（2）求出q為真命題的a的范圍，判斷命題p和命題q的真假，然后，結(jié)合條件：命題p或q為真命題，p且q為假命題，得到兩個命題中，必有一個為假命題，一個為真命題，最后，求解得到結(jié)論．

解答 解：（1）命題p：設(shè)t=2^x，t∈[1，4]，y=t-t²+a≤0恒成立，
∴a≤t²-t在[1，4]恒成立，
∴a≤y_min=0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]
（2）命題q：函數(shù)y=ln（x²+ax+1）定義域是R，
∴x²+ax+1＞0，
∴△=a²-4＜0，
解得：-2＜a＜2；
△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2
（2）“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
所以命題p與命題q一真一假，
當(dāng)命題p為真，命題q為假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a≤-2或a≥2}\end{array}\right.$，解得a≤-2，
當(dāng)命題p為假，命題q為真時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，解得0＜a＜2，
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪（0，2）．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了簡單命題的真假判斷，復(fù)合命題的真值表應(yīng)用，注意“且”“或”的含義，屬于中檔題．