Question

8．已知△ABC和點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=-$\overrightarrow{MA}$，若存在實(shí)數(shù)m使得m$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}$成立，則m等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出圖象，由向量加法的平行四邊形法則可知M是△ABC的重心，故$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}$，代入m$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}$可解出m．

解答 解：以MB，MC為鄰邊作平行四邊形MBEC，連結(jié)ME交BC于D，如圖．
則$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{ME}=2\overrightarrow{MD}$，∵$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=-$\overrightarrow{MA}$，
∴M在線段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{AM}$，
∵m$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}$，
∴3m$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AM}$，
∴m=$\frac{1}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量加法的平行四邊形法則，確定M的位置是關(guān)鍵．