Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}kx+2，x≤0\\-lnx，x＞0\end{array}$，則下列關(guān)于y=f[f（x）]-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判別正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)k=0時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)
• B． 當(dāng)k＜0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)
• C． 當(dāng)k＞0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)
• D． 無(wú)論k取何值，都有4個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為分段函數(shù)，函數(shù)y=f[f（x）]-2為復(fù)合函數(shù)，故需要分類討論，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：A．當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
當(dāng)t≤0時(shí)，由f（t）=2得2=2此時(shí)方程恒成立了，即y=f[f（x）]-2有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故A正確，D錯(cuò)誤．
B．當(dāng)k＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
當(dāng)t＞0時(shí)，由f（t）=2，此時(shí)-lnt=2，得t=e^-2∈（0，1），
當(dāng)t≤0時(shí)，由f（t）=2得t=0，
由t=f（x）=e^-2∈（0，1），此時(shí)x有一個(gè)解，
由t=f（x）=0，此時(shí)x有一個(gè)解，
綜上y=f[f（x）]-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故B錯(cuò)誤，
C．當(dāng)k＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
當(dāng)t＞0時(shí)，由f（t）=2，此時(shí)-lnt=2，得t=e^-2∈（0，1），
當(dāng)t≤0時(shí)，由f（t）=2得t=0，
由t=f（x）=e^-2∈（0，1），此時(shí)x有2個(gè)解，
由t=f（x）=0，此時(shí)x有2個(gè)解，
綜上y=f[f（x）]-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故C錯(cuò)誤，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論確定函數(shù)y=f（f（x））-2的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法是解決本題的關(guān)鍵．