已知：P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足
PA
+
PB
+
PC
=
0
，且
PA
與
PB
的夾角等于135°，
PB
與
PC
的夾角等于120°，若|
PC
|=4．
（1）求|
PA
|；
（2）求△ABC的面積．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由
PA
+
PB
+
PC
=
0
，可得
PC
=-(
PA
+
PB
)，
PA
=-(
PB
+
PC
)，于是
PC
2=
PA
2+
PB
2+2
PA
•
PB
，
PA
2=
PB
2+
PC
2+2
PB
•
PC
．聯(lián)立解得即可．
（2）設(shè)AC邊的中點(diǎn)為D，則
PA
+
PC
=2
PD
，又
PA
+
PB
+
PC
=
0
，可得點(diǎn)P為△ABC的重心．于是S△ABC=3S△PAC，即可得出．
解答： 解：（1）由
PA
+
PB
+
PC
=
0
，∴
PC
=-(
PA
+
PB
)，
PA
=-(
PB
+
PC
)，
∴
PC
2=
PA
2+
PB
2+2
PA
•
PB
，
PA
2=
PB
2+
PC
2+2
PB
•
PC
．
∵
PA
與
PB
的夾角等于135°，
PB
與
PC
的夾角等于120°，|
PC
|=4．
∴16=
PA
2+
PB
2+2|
PA
| |
PB
|cos135°，
PA
2=
PB
2+16+8|
PB
|cos120°，解得|
PA
|=2
6
．
（2）設(shè)AC邊的中點(diǎn)為D，則
PA
+
PC
=2
PD
，又
PA
+
PB
+
PC
=
0
，∴
PB
+2
PD
=
0
，即點(diǎn)P為△ABC的重心．
∴S△ABC=3S△PAC，
∵S△PAC=
1
2
|
PA
| |
PC
|sin105°=
1
2
×2
6
×4×
6
+
2
4
=6+2
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積的定義及其性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC為銳角三角形，若角θ終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（sinA-cosB，cosA-sinC），則f（θ）=
sin(θ+
π
2
)
|cosθ|
+
cos(θ+
π
2
)
|sinθ|
的值為（　�。�
A、-2B、0
C、2D、與θ的大小有關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=2x-
x-1

（2）y=
x-1
x+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列A：a1，a2，…an，滿足ai∈{0，1}（i=1，2，…，n）．定義變換T：T將數(shù)列A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．若A0為0，1．Ak=T（Ak-1）（k=1，2，…）．
（1）若Ak中的0的個(gè)數(shù)為bk，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．
（2）記Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)對(duì)ak，求ak．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，求cosA和sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知tanα=2，求：
①
3sinα-cosα
sinα+2cosα
；
②sinαcosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知平面α與△ABC的兩邊AB，AC分別交于D，E，且AD：DB=AE：EC，求證：BC∥平面α．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，
2
），且離心率為
2
2
，
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)B1，B2為橢圓C的下、上頂點(diǎn)．直線l：y=kx+4交橢圓C于兩點(diǎn)M、N，設(shè)直線B1M、B2N的斜率分別為k1、k2，證明：k1+3k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

清明節(jié)小長(zhǎng)假期間，某公園推出擲飛鏢和摸球兩種游戲，甲參加擲飛鏢游戲，已知甲投擲中紅色靶區(qū)的概率為
1
2
，投中藍(lán)色靶區(qū)的概率為
1
4
，不能中靶概率為
1
4
；該游戲規(guī)定，投中紅色靶區(qū)記2分，投中藍(lán)色靶區(qū)記1分，未投中標(biāo)靶記0分；乙參加摸球游戲，該游戲規(guī)定，在一個(gè)盒中裝有大小相同的10個(gè)球，其中6個(gè)紅球和4個(gè)黃球，從中一次摸出3個(gè)球，一個(gè)紅球記1分，黃球不記分．
（Ⅰ）求乙恰得1分的概率；
（Ⅱ）求甲在4次投擲飛鏢中恰有三次投中紅色靶區(qū)的概率；
（Ⅲ）求甲兩次投擲后得分ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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同步練習(xí)冊(cè)答案