Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+3y-1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當(dāng)n＞m≥4時(shí)，證明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（e），由f'（e）=3求得a的值；
（2）把f（x）的解析式代入k＜

f(x)

x-1

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x-1

，求導(dǎo)后得到g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），由h（x）的導(dǎo)數(shù)大于0可知h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x=x₀，
再由h（3）＜0，h（4）＞0得到g（x）在x₀處取得最小值g（x₀）=x₀∈（3，4），由此得到k的最大值；
（3）結(jié)合（2）得到函數(shù)g(x)=

x+xlnx

x-1

是[4，+∞）上的增函數(shù)，把n，m代入函數(shù)式得到不等式，變形后由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證得結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+xlnx，
∴f'（x）=a+1+lnx
由f'（e）=3，得a+1+lne=3，解得a=1；
（2）解：由（1）得 f（x）=x+xlnx，
∴k＜

f(x)

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，
∴g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′(x)=1-

1

x

，
由h′(x)=1-

1

x

＞0，得h（x）=x-lnx-2（x＞1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
h（3）=1-ln3＜0，h（4）=1-ln4＞0，
∴h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x=x₀，且x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，g'（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，g'（x）＞0．
∴函數(shù)g（x）在x=x₀處取得最小值，（g（x））_min=g（x₀）=x₀∈（3，4）．
故整數(shù)k的最大值為3；
（3）證明：由（2）得，g(x)=

x+xlnx

x-1

是[4，+∞）上的增函數(shù)，
∴當(dāng)n＞m≥4時(shí)，有

n+nlnn

n-1

＞

m+mlnm

m-1

，
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
ln（mnⁿ）^m＞ln（nm^m）ⁿ，
∴（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)于（2）的求解，構(gòu)造函數(shù)后求解函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是不易想到的，屬難度較大的題目．