Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+3，x∈[0，5]，f（x）最小值為g（a），求g（a）的解析式以及g（a）的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過討論a＞0時，a=0時，-

2

5

≤a＜0時，-

4

5

＜a＜-

2

5

時，a≤-

4

5

時的范圍，從而求出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)g（a）的圖象，得出函數(shù)的值域．

解答： 解：a=0時，f（x）=4x+3，g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
a＞0時，對稱軸x=-

2

a

＜0，
∴f（x）在[0，5]遞增，∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
0＜-

2

a

≤

5

2

，即a≤-

4

5

時，f（x）在[0，-

2

a

）遞增，在（-

2

a

，5]遞減，
∴g（a）=f（x）_min=f（5）=25a+23，

5

2

＜-

2

a

＜5，-

4

5

＜a＜-

2

5

時，f（x）在[0，-

2

a

）遞增，在（-

2

a

，5]遞減，
∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
-

2

a

≥5，即-

2

5

≤a＜0時，f（x）在[0，5]遞增，
∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
綜上：g（a）=

3(a＞- 4 5 ) 25a+23，(a≤- 4 5 )

，
畫出函數(shù)g（a）的圖象，如圖示：
由圖象得：g（a）的值域是（-∞，3]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．