Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a_n，0）．
（Ⅰ）求a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1-an+n•2n

n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）求出b_n=

1-an+n•2n

n

的表達(dá)式，利用分組求和和裂項(xiàng)法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）xⁿ，函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，解得an=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（Ⅱ）b_n=

1-an+n•2n

n

=

1

n(n+1)

+2n=

1

n

-

1

n+1

+2ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）+（2+2²+…+2ⁿ）
=1-

1

n+1

+

2•(1-2n)

1-2

=

n

n+1

+2n+1-2=2n+1-

n+2

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，考查了數(shù)列的概念和裂項(xiàng)求和及等比數(shù)列求和方法；考查運(yùn)算求解的能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．