Question

1．已知函數(shù)f（x）=3e^|x|．若存在實(shí)數(shù)t∈[-1，+∞），使得對(duì)任意的x∈[1，m]，m∈Z且m＞1，都有f（x+t）≤3ex，則m的最大值為3．

Answer 1

分析 由題意可得x+t≥0，f（x+t）≤3ex，等價(jià)于t≤1+lnx-x．原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對(duì)任意x∈[1，m]恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）=1+lnx-x的最小值為h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整數(shù)m的值．

解答 解：當(dāng)t∈[-1，+∞）且x∈[1，m]時(shí)，x+t≥0，
∴f（x+t）≤3ex可化為e^x+t≤ex，
即t≤1+lnx-x；
∴存在實(shí)數(shù)t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對(duì)任意x∈[1，m]恒成立；
令h（x）=1+lnx-x（1≤x≤m）；
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{1}{x}$-1≤0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；
又∵x∈[1，m]，
∴h（x）_min=h（m）=1+lnm-m．
∴要使得對(duì)x∈[1，m]，t值恒存在，只須1+lnm-m≥-1；
∵h(yuǎn)（3）=ln3-2＞-1，h（4）=ln4-3＜-1；
且函數(shù)h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴滿足條件的最大整數(shù)m的值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．