Question

8．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足：x³+2xy-1=0（-1≤x≤2，x≠0），這個(gè)方程確定的函數(shù)為y=f（x），若函數(shù)z=3x+2f（x）-k有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（-∞，-5）∪\right\{-\frac{15}{4}\left\}∪（\frac{5}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)z=3x+2f（x）-k=$\frac{-{x}^{3}+3{x}^{2}+1}{x}$-k，（-1≤x≤2，x≠0），若函數(shù)z=3x+2f（x）-k有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=$\frac{-{x}^{3}+3{x}^{2}+1}{x}$，（-1≤x≤2，x≠0）的圖象，與y=k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：∵方程x³+2xy-1=0，（-1≤x≤2，x≠0）確定的函數(shù)為y=f（x），
∴f（x）=$\frac{-{x}^{3}+1}{2x}$，（-1≤x≤2，x≠0），
∴函數(shù)z=3x+2f（x）-k=$\frac{-{x}^{3}+3{x}^{2}+1}{x}$-k，（-1≤x≤2，x≠0），
若函數(shù)z=3x+2f（x）-k有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)y=$\frac{-{x}^{3}+3{x}^{2}+1}{x}$，（-1≤x≤2，x≠0）的圖象，與y=k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∵y′=$\frac{-2{x}^{3}+3{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
令y′=0，則x=1，或x=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)-1≤x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)，-$\frac{1}{2}$＜x＜0，或0＜x≤2時(shí)，y′≤0，函數(shù)為減函數(shù)，
故函數(shù)y=$\frac{-{x}^{3}+3{x}^{2}+1}{x}$的草圖如下所示：

由圖可得：k∈$（-∞，-5）∪\right\{-\frac{15}{4}\left\}∪（\frac{5}{2}，+∞）$，
故答案為：$（-∞，-5）∪\right\{-\frac{15}{4}\left\}∪（\frac{5}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵．