Question

9．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求y的表達式．
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知A=2，$\frac{T}{2}=\;\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，再根據(jù)周期公式可得：ω=2，因為圖象過點（ $\frac{π}{6}$，2），可得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z，再根據(jù)φ的范圍求出φ的值，進而求出了函數(shù)的解析式得到答案．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對稱性進行求解即可．

解答 解：（1）由圖象可知A=2，$\frac{T}{2}=\;\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$
所以T=π，所以ω=2，
所以y=3sin（2x+φ）．
又因為圖象過點（ $\frac{π}{6}$，2），即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
所以解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z
因為$|φ|＜\frac{π}{2}$，
所以當(dāng)k=0時，φ=$\frac{π}{6}$，
y的表達式為$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即函數(shù)的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$，0），k∈Z．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)的性質(zhì)的求解．根據(jù)條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．