Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為

2

2

，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

2

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設經(jīng)過點M（0，2）的直線AB交橢圓C于A、B兩點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意設直線AB的方程為y=kx+2，由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此韋達定理、點到直線距離公式等結合已知條件能求出△AOB面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，即a=

2

c，①
∵過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

2

，
∴

2b2

a

=

2

，②
又a²=b²+c²，③
由①②③，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C的方程

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意設直線AB的方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y并整理，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
由（8k）²+8kx+6=0，
由△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，
得k3＞

3

2

，由韋達定理，得x1+x2=-

8k

2k2+1

，x1x2=

6

2k2+1

，
∵點O到直線AB的距離為d=

2

1+k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(2k2-3) (2k2+1)2

，
設t=2k²-3，由k2＞

3

2

，知t＞0，
∴S_△AOB=

8t (t+4)2

=

8 t+ 16 t +8

，
由t+

16

t

≥8，得S△AOB≤

2

2

，
當且僅當t=4，k2=

7

2

時，等號成立．
∴△AOB面積的最大值為

2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．