Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，BD=

2

，沿BD將△BCD折起，使二面角A-BD-C是大小為銳角α的二面角，設(shè)C在平面ABD上的射影為O．
（1）求證：OD∥AB；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，三棱錐C-OAD的體積最大？最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先，得到BD⊥平面SCD，然后，得到BD⊥OD，從而得證；
（2）根據(jù)射影，得到BD⊥OD，然后，根據(jù)體積公式，得到V_C-AOD=

1

3

S_△AOD•OC，從而求解體積．

解答： 解：（1）∵CO⊥平面ABD，
CO⊥BD，
∵BD⊥CD，CD∩CO=C，
∴BD⊥平面OCD
又OD?平面COD，
∴BD⊥OD，
∵AB⊥BD，
∴AB∥OD．
（2）由題知OD為CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，
∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，
V_C-AOD=

1

3

S_△AOD•OC=

1

3

•

1

2

•OD•BD•OC=

2

6

•OD•OC
=

2

6

•CD•sinα•CD•cosα
=

2

3

sin2α≤

2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=1，即α=45°時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)α=45°時(shí)，三棱錐O-ACD的體積最大，最大值為

2

3

．  

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中垂直關(guān)系、平行關(guān)系及其判斷方法、投影的概念、空間中關(guān)于角度的認(rèn)識(shí)等知識(shí)，屬于中檔題．