Question

已知函數f（x）=x³+ax²-a．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調增區(qū)間．
（Ⅱ）對任意a≤-3，使得f（1）是函數f（x）在區(qū)間[1，b]（b＞1）上的最大值，試求最大的實數b．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數判斷函數的單調性即可得出單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，可得只要f（1）≥f（b）即可，列出不等式求得結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-a．
∴f′（x）=3x²+2ax=3x（x+

2

3

a），
∴當a=0時，f′（x）≥0，函數f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當a＞0時，由f′（x）＞0得，x＜-

2a

3

或x＞0，故函數f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-

2a

3

），（0，+∞）；
當a＜0時，由f′（x）＞0得，x＞-

2a

3

或x＜0，故函數f（x）的單調增區(qū)間是（-

2a

3

，+∞），（-∞，0）；
（Ⅱ）∵a≤-3，∴-

2a

3

≥2，∴不論-

2a

3

＜b還是-

2a

3

≥b，由題意可知f（1）≥f（b）即可，
∴b³+ab²-a-1≤0，令g（a）=b³+ab²-a-1，∵b＞1，
∴只要g（-3）=b³-3b²+2≤0，即（b-1）（b²-2b-2）≤0，解得1＜b≤1+

3

，
∴b的最大值是1+

3

．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、求函數的最值等知識，考查學生的運算求解能力及分類討論思想，劃歸轉化思想的運用能力，屬難題．