Question

16．設(shè)實(shí)數(shù)集S是滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件的集合：
①1∉S，②若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S
（1）求證：若a∈S，則1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）若2∈S，則在S中必含有其他的兩個(gè)數(shù)，試求出這兩個(gè)數(shù)；
（3）求證：集合S中至少有三個(gè)不同的元素．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)條件：①1∉S；②若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S，
（1）將$\frac{1}{1-a}$代入可證得：1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）將a=2代入，可求出另外的兩個(gè)元素；
（3）證明a，1-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$不相等，可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$∈S，
∴1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）解：若2∈S，則$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，則$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈S，
所以另外兩個(gè)數(shù)是-1和$\frac{1}{2}$．
（3）證明：由（1）得：1-$\frac{1}{a}$∈S；
令1-$\frac{1}{a}$=a，即a²-a+1=0，
此時(shí)判別式△=1-4=-3＜0，方程無(wú)解，
同理1-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{1-a}$也無(wú)解，
故集合S中至少有三個(gè)不同的元素：a，1-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合元素和集合關(guān)系的判斷，考查學(xué)生的推理和分析能力．