Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：1+a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列b_n=

2n

an

（n∈N^*），試求數(shù)列{tanb_n•tanb_n+1}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得a₁+2a₂+3a₃++（n-1）a_n-1=2^n-1，兩者相減并化簡，可得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=

2n

an

=2n，利用兩角差的正切公式變形，得出tanb_n•tanb_n+1=

tanbn+1-tanbn

tan(bn+1-bn)

-1=

tanbn+1-tanbn

tan2

-1，再利用累加法求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ①，∴n≥2時，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=2^n-1②
①-②得na_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，a_n=

2n-1

n

（n≥2），在①中令n=1得a₁=1，也適合上式．
所以a_n=

2n-1

n

（n≥1）
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=

2n

an

=2n，
利用兩角差的正切公式變形，tanb_n•tanb_n+1=

tanbn+1-tanbn

tan(bn+1-bn)

-1=

tanbn+1-tanbn

tan2

-1，
所以S_n=

(tanbn+1-tanbn)+(tanbn-tanbn-1)+…+(tanb2-tanb1)

tan2

-n
=

tan(2n+2)-tan2

tan2

-n

點評：本題考查算了通項公式求解，兩角差的正切公式變形應用，本題關鍵是利用兩角差的正切公式變形，得出tanb_n•tanb_n+1=

tanbn+1-tanbn

tan(bn+1-bn)

-1=

tanbn+1-tanbn

tan2

-1．