Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），設(shè)左頂點為A，上頂點為B，且

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，如圖所示．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知M，N為橢圓C上兩動點，且MN的中點H在圓x²+y²=1上，求原點O到直線MN距離的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），由

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，推導(dǎo)出b²-a-1=0，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）分類討論，設(shè)點作差，求出MN的方程，可得原點O到直線MN距離，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），
∵

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，
∴b²-a-1=0，
∵b²=a²-1，∴a²-a-2=0，解得a=2，
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），則

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
作差得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0
①x₁=x₂時，y₁+y₂=0，∴H（x₀，0），
∵H在圓x²+y²=1上，
∴x₀=±1，則原點O到直線MN距離為1；
②x₁≠x₂時，設(shè)直線MN的斜率為k，則

2x0

4

+

2ky0

3

=0，
∴3x₀+4ky₀=0，且x₀²+y₀²=1，
∴x₀²=

16k2

16k2+9

，y₀²=

9

16k2+9

，
∴x₀y₀=-

4

3

ky₀²=

-12k

16k2+9

設(shè)原點O到直線MN距離為d，則
∵MN的方程為y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+y₀=0，
∴d²=

(y0-kx0)2

k2+1

=1-

k2

16k4+25k2+9

，
k=0時，d²=1；
k≠0時，d²=1-

1

16k2+ 9 k2 +25

≥1-

1

49

=

48

49

∵

48

49

＜1，
∴d²的最小值為

48

49

，即d的最小值為

4 3

7

，此時k=±

3

2

，
由①②可知，原點O到直線MN距離的最小值

4 3

7

．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．