Question

如圖，已知圓E：（x+

3

）²+y²=16，點(diǎn)F（

3

，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即可求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出△ABC的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．（2分）
設(shè)其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可知a=2，c=

a2-b2

=

3

，則b=1，（3分）
所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為為

x2

4

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）存在最小值．（5分）
（�。┊�(dāng)AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，可知點(diǎn)C就是橢圓的上、下頂點(diǎn)（或左、右頂點(diǎn)），
則S△ABC=

1

2

×|OC|×|AB|=ab=2．（6分）
（ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），
聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 y=kx

消去y得

x

2 A

=

4

1+4k2

，

y

2 A

=

4k2

1+4k2

，
由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為y=-

1

k

x，
同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足

x

2 C

=

4k2

k2+4

，

y

2 C

=

4

k2+4

，則|OA|2=

4

1+4k2

+

4k2

1+4k2

=

4(1+k2)

1+4k2

，|OC|2=

4k2

k2+4

+

4

k2+4

=

4(1+k2)

k2+4

，（8分）
則S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=

4(1+k2)

(1+4k2)(k2+4)

．（9分）
由于

(1+4k2)(k2+4)

≤

5(1+k2)

2

，
所以S△ABC=2S△OAC≥

4(1+k2)

5(1+k2) 2

=

8

5

，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k²=k²+4，即k²=1時(shí)取等號(hào)．
綜合（�。�（ⅱ），當(dāng)k²=1時(shí)，△ABC的面積取最小值

8

5

，（11分）
此時(shí)

x

2 C

=

4k2

k2+4

=

4

5

，

y

2 C

=

4

k2+4

=

4

5

，即xC=±

2 5

5

，yC=±

2 5

5

，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

2 5

5

，

2 5

5

)，(

2 5

5

，-

2 5

5

)，(-

2 5

5

，

2 5

5

)，(-

2 5

5

，-

2 5

5

)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．