已知圓M：x2+（y-2）2=1，直線l：y=-1，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切．設(shè)動圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）定點A（4，2），B，C為E上的兩個動點，若直線AB與直線AC垂直，求證：直線BC恒過定點．
考點：圓的切線方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）根據(jù)動圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x2+（y-2）2=1外切，可得動動點P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等，由拋物線的定義知，點P的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx+b，將直線AB代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0，利用韋達定理，結(jié)合
AB
•
AC
=0，即可證明直線AB恒過定點．
解答： （Ⅰ）解：由題意動圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x2+（y-2）2=1外切，
所以動點P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等，
由拋物線的定義知，點P的軌跡是以C（0，2）為焦點，直線y=-2為準線的拋物線，
故所求P的軌跡方程為：x2=8y．           …（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線BC：y=kx+b，B（x1，y1），C（x2，y2），
將直線BC代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0，
所以x1+x2=8k，x1x2=-8b，…（6分）
又因為
AB
=（x1-4，y1-2），
AC
=（x2-4，y2-2），
所以
AB
•
AC
=（x1-4，y1-2）•（x2-4，y2-2）=（k2+1）x1x2+[k（b-2）-4]（x1+x2）+（b-2）2+16=0
所以-8b（k2+1）x+8k[k（b-2）-4]+（b-2）2+16=0
所以（b-6）2-16（k+1）2=0…（8分）
所以b=4k+10或b=-4k+2           …（10分）
所以恒過定點（-4，10）．                         …（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知函數(shù)f（x）=lnx+
1
lnx
，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�
A、若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的極值點，則f（x）在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)是增函數(shù)
B、若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的極值點，則f（x）在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)是減函數(shù)
C、?x＞0，且x≠1，f（x）≥2
D、?x0＞0，f（x）在（x0，+∞）上是增函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是2
2
，且過點（1，
2
2
）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于M，N兩點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，直線MF與NF關(guān)于x軸對稱．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=cos2A+cos2x（x∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間及最大值；
（Ⅱ）求△ABC的面積的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

大家知道，莫言是中國首位獲得諾貝爾獎的文學(xué)家，國人歡欣鼓舞．某高校文學(xué)社從男女生中各抽取50名同學(xué)調(diào)查對莫言作品的了解程度，結(jié)果如下：
閱讀過莫言的
作品數(shù)（篇）		 0～25 26～50 51～75 76～100 101～130
男生 3 6 11 18 12
女生 4 8 13 15 10
（Ⅰ）試估計該校學(xué)生閱讀莫言作品超過50篇的概率；
（Ⅱ）對莫言作品閱讀超過75篇的則稱為“對莫言作品非常了解”，否則為“一般了解”．根據(jù)題意完成下表，并判斷能否有75%的把握認為對莫言作品的非常了解與性別有關(guān)？
  非常了解 一般了解 合計
男生      
女生      
合計      
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），設(shè)左頂點為A，上頂點為B，且
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，如圖所示．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知M，N為橢圓C上兩動點，且MN的中點H在圓x2+y2=1上，求原點O到直線MN距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且Sn+
1
2
an=1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
b100b101
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=3，an-an-1=（2-n）•2n-1（n≥2，n∈N*）．
（1）設(shè)cn=an-2n，求cn；
（2）記n×（n-1）×…×2×1=n!，求數(shù)列{nan}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C：y2=8x的準線與x軸相交于點P，過點P斜率k為正的直線交C于兩點A、B，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=
 
．

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