Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，直線l：y=-1，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線l相切．設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）定點(diǎn)A（4，2），B，C為E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線AB與直線AC垂直，求證：直線BC恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)動(dòng)圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x²+（y-2）²=1外切，可得動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx+b，將直線AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

AB

•

AC

=0，即可證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．

解答： （Ⅰ）解：由題意動(dòng)圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x²+（y-2）²=1外切，
所以動(dòng)點(diǎn)P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等，
由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以C（0，2）為焦點(diǎn)，直線y=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
故所求P的軌跡方程為：x²=8y．           …（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線BC：y=kx+b，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
將直線BC代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，
所以x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8b，…（6分）
又因?yàn)?span id="ufg6zuq" class="MathJye">

AB

=（x₁-4，y₁-2），

AC

=（x₂-4，y₂-2），
所以

AB

•

AC

=（x₁-4，y₁-2）•（x₂-4，y₂-2）=（k²+1）x₁x₂+[k（b-2）-4]（x₁+x₂）+（b-2）²+16=0
所以-8b（k²+1）x+8k[k（b-2）-4]+（b-2）²+16=0
所以（b-6）²-16（k+1）²=0…（8分）
所以b=4k+10或b=-4k+2           …（10分）
所以恒過(guò)定點(diǎn)（-4，10）．                         …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵．