Question

8．已知函數(shù)f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值；
（2）當(dāng)x∈（-a，a]．其中a∈（0，1），a是常數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可證出f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)，由此可得f（ $\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值等于0；
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判斷符號(hào)的方法，證出f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)．因此，當(dāng)a∈（0，1），且a為常數(shù)時(shí)，f（x）在區(qū)間（-a，a]的最小值為f（a）=-a+log₂$\frac{1-a}{1+a}$．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）
∵f（-x）=-（-x）+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=x-log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x）
∴f（x）是定義在（-1，1）的奇函數(shù)
因此，f（-$\frac{1}{2015}$）=-f（$\frac{1}{2015}$），可得f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值等于0；
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=-x₁+log₂$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-（-x₂+log₂$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$）=（x₂-x₁）+log₂$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$
且x₂-x₁＞0，$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=$\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}}{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1
∴l(xiāng)og₂$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a為常數(shù)）時(shí)，函數(shù)有最小值為f（a）=-a+log₂$\frac{1-a}{1+a}$

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有對數(shù)符號(hào)的基本初等函數(shù)，求特殊的函數(shù)值并討論函數(shù)在區(qū)間（-a，a]上的最小值，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．