Question

9．如圖（1），已知A，B，C．P四點共面，PC上AC，AB=BC，D，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，DE⊥AP于E．把平面四邊形ABCP沿AC折成直二面角，如圖（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求證：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延長AB至H，使得AB=BH，如圖（3）．在AP上是否存在點Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥平面ACP，可得BD⊥AP，利用DE⊥AP，BD∩DE=D，即可證明AP⊥平面BDE；
（2）證明DF∥AP，利用AP⊥平面BDE，可得DF⊥平面BDE，即可證明平面BDF⊥平面BDE；
（3）利用平面與平面平行的判定，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵D為AC的中點，AB=BC，∴BD⊥AC，
∵把平面四邊形ABCP沿AC折成直二面角，
∴平面ACP⊥平面ABC，平面ACP∩平面ABC=AC，
∴BD⊥平面ACP，
∵AP?平面ACP，
∴BD⊥AP，
∵DE⊥AP，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE；
（2）證明：∵D，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，
∴DF∥AP，
∵AP⊥平面BDE，
∴DF⊥平面BDE，
∵DF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面BDE；
（3）解：存在點Q，使得平面CHQ∥平面BDE，此時AE=EQ．

點評 本題考查線面、面面垂直，考查面面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．