Question

4．某個小區(qū)為了制訂自行車棚的整修方案，進行了一次以家庭為單位的自行車數(shù)量調(diào)查．按照家庭成員的人數(shù)采用分層抽樣的方法，一部分數(shù)據(jù)如表所示，其中m=2n．通過調(diào)查統(tǒng)計了每個家庭的自行車數(shù)量，將結果繪制成條形圖，如圖所示．

家庭人數(shù)	1	2	3	4	5
家庭數(shù)量	6	m	72		18
抽樣數(shù)量		4	n	10

（1）計算這個小區(qū)的家庭總數(shù)和樣本容量；
（2）根據(jù)圖中所顯示的統(tǒng)計結果，估計這個小區(qū)共有多少輛自行車．
（3）從樣本中任取兩個家庭，設這兩個家庭的自行車數(shù)量分別為a和b，記不等式x²-ax+b≤0的解集中整數(shù)的個數(shù)為η，求η的分布列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)m=2n，由分層抽樣的性質(zhì)，得：$\frac{2n}{4}=\frac{72}{n}$，由此能求出這個小區(qū)的家庭總數(shù)和樣本容量．
（2）由條形圖得到抽到的3有自行車的數(shù)量為：11+15×2+4×3=53輛，由此能估計這個小區(qū)共有多少輛自行車．
（3）由已知得a，b的可能取值分別為1，2，3，基本事件總數(shù)n=3×3=9，利用列舉法能求出不等式x²-ax+b≤0的解集中整數(shù)的個數(shù)η的分布列．

解答 解：（1）∵m=2n，∴由分層抽樣的性質(zhì)，得：$\frac{2n}{4}=\frac{72}{n}$，解得n=12，
∴這個小區(qū)的家庭總數(shù)為：6+12×2+72+$10×\frac{72}{12}$+18=180，
樣本容量為：6×$\frac{4}{12}$+12+10+18×$\frac{4}{12}$=30．
（2）由條形圖得到：
抽取的30戶中，11戶都只有1輛自行車，15戶都只有2輛自行車，4戶都只有3輛自行車，
∴抽到的3有自行車的數(shù)量為：11+15×2+4×3=53輛，
∴估計這個小區(qū)共有53×$\frac{180}{30}$=318輛自行車．
（3）由已知得a，b的可能取值分別為1，2，3，基本事件總數(shù)n=3×3=9，
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），
當（a，b）為（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，3）時，△＜0，不等式x²-ax+b≤0的解集為∅，η=0，
當（a，b）為（2，1）時，x²-2x+1≤0的解集為{1}，η=1，
當（a，b）為（3，1）時，x²-3x+1≤0的解集為{x|$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$≤x≤\frac{3+\sqrt{5}}{2}$}，η=2，
當（a，b）為（3，2）時，x²-3x+2≤0的解集為{x|1≤x≤2}，η=2，
∴P（η=0）=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，
P（η=1）=$\frac{1}{9}$，
P（η=2）=$\frac{2}{9}$，
∴η的分布列為：

η	0	1	2
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$

點評 本題考查分層抽樣、條形圖、統(tǒng)計表的應用，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．