Question

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a²=b（b+c）．
（1）求證：∠A=2∠B；
（2）若a=

3

b，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）延長(zhǎng)CA至D，使AD=AB，連接DB．根據(jù)a²=b（b+c）得到△BCA∽△DCB，然后由三角形中角的關(guān)系得答案；
（2）由a=

3

b結(jié)合a²=b（b+c）得到a²+b²=c²，說(shuō)明△ABC為直角三角形．

解答： （1）證明：a²=b（b+c），
即BC²=AC（AC+AB），
延長(zhǎng)CA至D，使AD=AB，連接DB．
則∠BAC=2∠D．
∴BC²=AC•CD，

BC

AC

=

CD

BC

，
又∠C=∠C，
∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．
∴∠BAC=2∠ABC；
（2）解：∵a=

3

b，
∴a²=3b²，
又a²=b（b+c），
∴3b²=b²+bc，c=2b．
∴a²+b²=4b²，
c²=（2b）²=4b²．
即a²+b²=c²．
△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形形狀的判斷，訓(xùn)練了利用三角形相似求解三角形中角的關(guān)系，是中檔題．