Question

若隨機(jī)事件A在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用隨機(jī)變量ξ表示A在三次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則

3Dξ-1

Eξ

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：由已知條件知ξ～B（3，p），從而得到E（ξ）=3p，D（ξ）=3p（1-p）=3p-3p²，由此利用均值定理能求出

3Dξ-1

Eξ

的最大值．

解答： 解：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，
并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
∴ξ～B（3，p），∴E（ξ）=3p，D（ξ）=3p（1-p）=3p-3p²，
∴

3Dξ-1

Eξ

=

9p-9p2-1

3p

=3-（3p+

1

3P

），
∵0＜p＜1，
∴3p+

1

3p

≥2，
當(dāng)3p=

1

3p

，p=

1

3

時(shí)，取“=”，
∴當(dāng)p=

1

3

時(shí)，

3Dξ-1

Eξ

取得最大值3-2=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布和均值定理的合理運(yùn)用．