Question

若函數(shù)f（x）=x²+k，若存在區(qū)間[a，b]?（-∞，0]，使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性利用f（a）=b，f（b）=a建立關(guān)于a的方程，根據(jù)b=-（a+1）確定a的范圍，把問題轉(zhuǎn)化為a的方程a²+a+k+1=0在區(qū)間（-1，-

1

2

）內(nèi)有實數(shù)解，求得k的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+k是（-∞，0]上的減函數(shù)，
∴當x∈[a，b]時，

f(a)=b f(b)=a

，即

a2+k=b b2+k=a

，
兩式相減得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+k=b得a²+a+k+1=0，
由a＜b≤0，且b=-（a+1）得-1≤a＜-

1

2

，
故關(guān)于a的方程a²+a+k+1=0在區(qū)間[-1，-

1

2

）內(nèi)有實數(shù)解，
記h（a）=a²+a+k+1，
則

h(-1)≥0 h(- 1 2 )＜0

，解得k∈[-1，-

3

4

）．
故答案為：[-1，-

3

4

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，利用函數(shù)的零點解決問題．