Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中a，b∈R，e＝2．718 28 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）＝0，函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，g（x）在[0,1]上的最小值是g（0）＝1－b;

當(dāng)<a<時(shí)，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

當(dāng)a≥時(shí)g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b．；

（2）（e－2，1）

【解析】

試題分析：（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b．

所以g′（x）＝ex－2a．

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

當(dāng)a≤時(shí)，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

當(dāng)a≥時(shí)，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b； 3分

當(dāng)<a<時(shí)，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1），所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0,ln2a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln2a,1]上單調(diào)遞增，于是g（x）在[0,1]上的最小值是

綜上所述，當(dāng)時(shí)，g（x）在[0,1]上的最小值是g（0）＝1－b;

當(dāng)<a<時(shí)，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

當(dāng)a≥時(shí)g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b． 6分

（2）設(shè)x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，

則由f（0）＝f（x0）＝0可知，f（x）在區(qū)間（0，x0）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．

則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．

故g（x）在區(qū)間（0，x0）內(nèi)存在零點(diǎn)x1．

同理g（x）在區(qū)間（x0，1）內(nèi)存在零點(diǎn)x2．

故g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．

由（1）知，當(dāng)a≤時(shí)，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a≥時(shí)，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，都不合題意．

所以<a<．

此時(shí)g（x）在區(qū)間[0，ln（2a）]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增．

因此x1∈（0，ln（2a）]，x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b>0，g（1）＝e－2a－b>0．

由f（1）＝0得a＋b＝e－1<2，

則g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0，

解得e－2<a<1．

當(dāng)e－2<a<1時(shí)，g（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)有最小值g（ln（2a））． 9分

若g（ln（2a））≥0，則g（x）≥0（x∈[0，1]），

從而f（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，這與f（0）＝f（1）＝0矛盾，所以g（ln（2a））<0．

又g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0．

故此時(shí)g（x）在（0，ln（2a））和（ln（2a），1）內(nèi)各只有一個(gè)零點(diǎn)x1和x2．

由此可知f（x）在[0，x1]上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在[x2，1]上單調(diào)遞增．

所以f（x1）>f（0）＝0，f（x2）<f（1）＝0，

故f（x）在（x1，x2）內(nèi)有零點(diǎn)．

綜上可知，a的取值范圍是（e－2，1）．

故g（x）≤0，即f（x）≤2x－2． 12分

考點(diǎn)：本題考查用導(dǎo)函數(shù)求最值和判斷單調(diào)性

點(diǎn)評(píng)：解決本題關(guān)鍵是求導(dǎo)求出單調(diào)性，找到最值，得到函數(shù)的性質(zhì)，找到零點(diǎn)