Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函數(shù)y=g₀（x）-f（x）的奇偶性；
（2）h（x）=$\frac{x}{f（x）}$-gt（x）在（0，2]上是單調(diào)遞減的，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若f（x）＜mg₂（x）對(duì)任意x∈（0，$\frac{1}{3}$]恒成立，求正數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）由已知得，$h（x）=\frac{x}{f（x）}-{g_t}（x）=\frac{1}{x}+tx-1$，利用單調(diào)性的定義，可知要使h（x）在（0，2]上是單調(diào)遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，從而只需1-tx₁x₂＞0恒成立，即$t＜\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$恒成立，故可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），分離參數(shù)可得$\frac{1}{m}＜\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{m}＜{（{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}）_{min}}$，$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$，利用配方法可求函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$的最小值3，故可求正數(shù)m的取值范圍；
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0．構(gòu)造f（x）=x²+2mx-m，則f（x）＜0對(duì)任意$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}f（0）≤0\\ f（{\frac{1}{3}}）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-m≤0\\ \frac{1}{9}+\frac{2}{3}m-m＜0\end{array}\right.$，從而可求正數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）y=h（x）=g₀（x）-f（x）=1-x²，…（1分），
則h（-x）=1-x²=h（x），
則函數(shù)函數(shù)y=g₀（x）-f（x）的是偶函數(shù)性；…（3分）
（2）由已知得，$h（x）=\frac{x}{f（x）}-{g_t}（x）=\frac{1}{x}+tx-1$，…（4分）
設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，
則$h（{x_1}）-h（{x_2}）=（{\frac{1}{x_1}+t{x_1}-1}）-（{\frac{1}{x_2}+t{x_2}-1}）$=$\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{1-t{x_1}{x_2}}）}}{{{x_1}{x_2}}}$…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是單調(diào)遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立．   …（7分）
因?yàn)閤₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜4，
所以1-tx₁x₂＞0恒成立，即$t＜\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$恒成立，…（8分）[
因?yàn)?\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞\frac{1}{4}$，所以$t≤\frac{1}{4}$，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是$（{-∞，\frac{1}{4}}]$．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），①…（10分）
因?yàn)閙＞0且$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$，所以①式可化為$\frac{1}{m}＜\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$，②…（11分）
要使②式對(duì)任意$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$恒成立，只需$\frac{1}{m}＜{（{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}）_{min}}$，$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$（12分）
因?yàn)?\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}={（{\frac{1}{x}-1}）^2}-1$，
所以當(dāng)$x=\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$取得最小值3，…（12分）
所以$\frac{1}{m}＜3$，又m＞0，所以$m＞\frac{1}{3}$，
故正數(shù)m的取值范圍是$（{\frac{1}{3}，+∞}）$．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x²+2mx-m，則f（x）＜0對(duì)任意$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$恒成立，…（11分）
只需$\left\{\begin{array}{l}f（0）≤0\\ f（{\frac{1}{3}}）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-m≤0\\ \frac{1}{9}+\frac{2}{3}m-m＜0\end{array}\right.$，解得$m＞\frac{1}{3}$，…（12分）
故正數(shù)m的取值范圍是$（{\frac{1}{3}，+∞}）$．                             …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的重點(diǎn)是求參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法，進(jìn)而求函數(shù)的最值．