【題目】設(shè)表示k個數(shù)字均為1的十進(jìn)制數(shù)(如=1，=111)，定義。

（1）對于任意正整數(shù)m、n，令，寫出一個關(guān)于f(m,n)的遞推關(guān)系式，并證明之；

（2）證明：對于任意正整數(shù)m、n,{m+n}!均可以被{m}!.{n}!整除。

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1） 補(bǔ)充定義{O}!=1.

對于正整數(shù)m、n有

=.

（2） 對任意正整數(shù)n有.

當(dāng)m、n為大于或等于2的正整數(shù)時，對m+n進(jìn)行歸納證明f(m,n)為整數(shù).

當(dāng)m+n=4時，.

假設(shè)當(dāng)m+n=k(h≥4)時，f(m,n)為整數(shù).

則當(dāng)m+n=k+1時，由(1)知.

由數(shù)學(xué)歸納法原理，知對于任意的正整數(shù)m、n，有f(m,n)為整數(shù).

于是，{m+n}!均可被{m}!.{n}!整除.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值（單位：）數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：

那么，下列敘述錯誤的是（ ）

A. 各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)

B. 全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大

C. 全年中各月最低氣溫平均值不高于的月份有5個

D. 從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，其中a＞0.曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=x+1垂直.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的極值和最值.

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【題目】已知拋物線C：y2=4x與橢圓E：1（a＞b＞0）有一個公共焦點(diǎn)F.設(shè)拋物線C與橢圓E在第一象限的交點(diǎn)為M.滿足|MF|.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)P（1，）的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，直線PO交橢圓E于另一點(diǎn)Q.若P為AB的中點(diǎn)，求△QAB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的離心率是，過點(diǎn)做斜率為的直線，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)變化時，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，若存在求出的取值范圍，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時，則的外接圓的方程為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，三角形的兩條邊所在直線的斜率之積是.

（I）求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）設(shè)直線方程為，直線方程為，直線交于，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線與軸相交于點(diǎn)，求面積關(guān)于的表達(dá)式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的長度為2，求直線l的普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)生學(xué)習(xí)的自律性很重要.某學(xué)校對自律性與學(xué)生成績是否有關(guān)進(jìn)行了調(diào)研，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

自律性一般

自律性強(qiáng)

合計(jì)

成績優(yōu)秀

40

成績一般

20

合計(jì)

50

100

（1）補(bǔ)全列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)；

（2）判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成績有關(guān).

參考公式及數(shù)據(jù)：.

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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