Question

甲、乙、丙三人參加一項(xiàng)技能測(cè)試，已知甲通過測(cè)試的概率為

3

5

，乙通過測(cè)試的概率為

1

2

，乙、丙兩人同時(shí)通過測(cè)試的概率為

1

3

，且三人能否通過測(cè)試相互獨(dú)立．
（1）求三人中至少一人通過測(cè)試的概率；
（2）設(shè)X為甲、乙、丙三人中通過測(cè)試的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知條件求出丙通過的概率，由此利用對(duì)立事件的概率能求出三人中至少一人通過測(cè)試的概率．
（2）由題意知X=0，1，2，3，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）設(shè)丙通過的概率為x，
∵乙通過測(cè)試的概率為

1

2

，乙、丙兩人同時(shí)通過測(cè)試的概率為

1

3

，且三人能否通過測(cè)試相互獨(dú)立．
∴

1

2

x=

1

3

，∴x=

2

3

，
∵甲通過測(cè)試的概率為

3

5

，∴三人中至少一人通過測(cè)試的概率：
p=1-（1-

3

5

）（1-

1

2

）（1-

2

3

）=

14

15

．
（2）由題意知X=0，1，2，3，
P（X=0）=（1-

3

5

）（1-

1

2

）（1-

2

3

）=

1

15

，
P（X=1）=

3

5

(1-

1

2

)(1-

2

3

)+（1-

3

5

）•

1

2

•（1-

2

3

）+（1-

3

5

）（1-

1

2

）•

2

3

=

3

10

，
P（X=2）=

3

5

•

1

2

•(1-

2

3

)+

3

5

•(1-

1

2

)•

2

3

+(1-

3

5

)•

1

2

•

2

3

=

13

30

，
P（X=3）=

3

5

×

1

2

×

2

3

=

1

5

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 15	3 10	13 30	1 5

EX=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．