Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線交⊙O于D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于E，OE交AD于F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=4，AB=10，求

AF

DE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形性質(zhì)推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AE，根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；
（2）過(guò)D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB，由△AED≌△AHD可得AE=AH=7，由△AEF和△OFD相似，得出比例式，代入求出即可．

解答： （1）證明：連結(jié)OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC．
∴OD∥AE．
又AE⊥DE，∴OE⊥OD，
又OD為半徑．
∴DE是的⊙O切線．…（5分）
（2）解：過(guò)D作DH⊥AB于H，
則有∠DOH=∠CAB．
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

．…（6分）
∵OD=5，AB=10，OH=2，∴AH=7．
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7，…（8分）
又由△AEF∽△DOF，可得AF：DF=AE：OD=7：5，
∴

AF

DF

=

7

5

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，題目較好，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，主要培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理的能力．