【題目】已知,函數(shù), .(的圖象連續(xù)不斷)

(1) 的單調(diào)區(qū)間;

(2) 當(dāng)時(shí),證明:存在,使;

(3) 若存在屬于區(qū)間,且,使,證明:

【答案】()解: , 令

.

當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表:

所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是

)證明:當(dāng)

由()知在(02)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.

由于在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,故

所以存在即存在

)證明:由及()的結(jié)論知,

從而上的最小值為又由,

從而

【解析】試題分析:(1)求的單調(diào)區(qū)間,由于函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù),因此求的單調(diào)區(qū)間,可用導(dǎo)數(shù)法,因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得, ,令,解得,列表確定單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),證明:存在,使,可轉(zhuǎn)化為上有解,可令,有根的存在性定理可知,只要在找到兩個(gè),是得即可,故本題把代入,由(1)知內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, ,故,取,則,即可證出;(3)若存在均屬于區(qū)間,且,使,由(1)知的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,故,且上的最小值為,而, ,只有,由單調(diào)性可知, ,從而可證得結(jié)論.

試題解析:(11分)

,解得2分)

當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表:







0



遞增

極大值

遞減

所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是5分)

2)證明:當(dāng)時(shí), ,

由(1)知內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.

. (6分)

由于內(nèi)單調(diào)遞增,故,即7分)

,則.

所以存在,使,

即存在,使. (9分)

(說明: 的取法不唯一,只要滿足,且即可.)

3)證明:由及(1)的結(jié)論知,

從而上的最小值為, (10分)

又由, ,知11分)

13分)

從而14分)

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(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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