Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-2．
（1）求此拋物線的方程；
（2）已知點(diǎn)B（-1，0），設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出p=4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）將y=kx+b代入y²=8x中，得k²x²+（2bk-8）x+b²=0，利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件能直線l過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

解答： （1）解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-2，
∴

p

2

=2，解得p=4，
∴拋物線C的方程為：y²=8x．
（2）證明：將y=kx+b代入y²=8x中，
得k²x²+（2bk-8）x+b²=0，
△=-32kb+64＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=

8-2bk

k2

，①x1x2=

b2

k2

．②
∵x軸是∠PBQ的解平分線，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，即y₁（x₂+1）+y₂（x₁+1）=0，
∴（kx₁+b）（x₂+1）+（kx₂+b）（x₁+1）=0，
∴2kx₁x₂+（b+k）（x₁+x₂）+2b=0，③
將①②代入③并整理得2kb²+（k+b）（8-2bk）+2k²b=0，
∴k=-b，此時(shí)△＞0，
∴直線l的方程為y=k（x-1），即直線l過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．