Question

求證：（1）已知a，b，c＞0，求證：

a2b2+b2c2+c2a 2

a+b+c

≥abc
（2）對于任何實數(shù)a，b，三個數(shù)|a+b|，|a-b|，|1-a|中至少有一個不小于

1

2

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用基本不等式的性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)即可得出；
（2）利用反證法即可得出．

解答： 證明：（1）∵b²+c²≥2bc，a²＞0，
∴a²（b²+c²）≥2a²bc．①
∵a²+c²≥2ac，b²＞0，
∴b²（a²+c²）≥2ab²c．②
∵b²+a²≥2ba，c²＞0，
∴c²（b²+a²）≥2abc²．③
①②③相加得  2（a²b²+b²c²+c²a²）≥2a²bc+2b²ac+2c²ab，
從而      a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）．
由a，b，c＞0，得a+b+c＞0，于是

1

a+b+c

＞0，
由不等式的基本性質(zhì)得

a2b2+b2c2+c2a 2

a+b+c

≥abc．
（2）（反證法）若|a+b|＜

1

2

，|a-b|＜

1

2

，|1-a|＜

1

2

，
則-

1

2

＜a+b＜

1

2

，（1）
-

1

2

＜a-b＜

1

2

，（2）
-

1

2

＜1-a＜

1

2

，（3）
由（1）+（2）得-

1

2

＜a＜

1

2

，
由（3）得

1

2

＜a＜

3

2

，矛盾．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)、反證法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．