Question

已知函數(shù)f（x）=

9-6x+x2

+

x2+8x+16

．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=kx-3k，k∈R，若不等式f（x）≤g（x）的解集為空集，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,其他不等式的解法

專題：選作題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9，分類討論，即可求f（x）≥f（4）的解集；
（2）不等式f（x）≤g（x）的解集為空集，即f（x）＞g（x），故f（x）=|x-3|+|x+4|的圖象恒在g（x）=k（x-3）圖象的上方，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）f(x)=

x2-6x+9

+

x2+8x+16

=

(x-3)2

+

(x+4)2

=|x-3|+|x+4|
∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9
∴

x≤-4 3-x-x-4≥9

①或

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

②或

x≥3 x-3+x+4≥9

③
解得不等式①：x≤-5；②：無解 ③：x≥4
∴f（x）≥f（4）的解集為{x|x≤-5或x≥4}．          …（5分）
（2）f（x）＞g（x），即f（x）=|x-3|+|x+4|的圖象恒在g（x）=k（x-3）圖象的上方．
f(x)=|x-3|+|x+4|=

-2x-1，     x≤-4 7，   -4＜x＜3 2x+1，x≥3

，
g（x）=k（x-3）圖象為恒過定點P（3，0），且斜率k變化的一條直線作函數(shù)y=f（x），y=g（x）圖象如圖，其中k_PB=2，A（-4，7），∴k_PA=-1
由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方
∴實數(shù)k的取值范圍為-1＜k≤2．     …（10分）

點評：本題考查不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．