Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，f'（1）=1-a=0，由此求出a=1．
（Ⅱ） 根據(jù)a≤0，a＞0兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ） f(x)＜x2?x2-

a

x

-lnx＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

+lnx（a∈R），
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
且f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

…（2分）
由題意f′（1）=1-a=0，
解得 a=1…（4分）
（Ⅱ） ①當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴f′（x）≥0恒成立，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，∵x＞0，∴令f'（x）＞0，解得x＞a，
令f′（x）＜0，解得x＜a．
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（9分）
（Ⅲ） f(x)＜x2?x2-

a

x

-lnx＞0，
∵x∈（1，+∞），∴a＜x³-xlnx．…（10分）
令h（x）=x³-xlnx，則k（x）=h'（x）=3x²-lnx-1，
k′(x)=6x-

1

x

=

6x2-1

x

，
∵x∈[1，+∞）時(shí)，k'（x）＞0，
∴k（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴k（x）＞k（1）=2…（12分）
∴h'（x）＞0，∴h（x）=x³-xlnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=1，∴a≤1． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．