用長為18的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，設(shè)長方體的寬為x，長為2x，其體積為y
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出其定義域；
（2）求x取何值時，長方體的體積最大？最大體積是多少？
考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）由長方體的寬和長，求出高，從而求出它的體積以及定義域；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，求出體積函數(shù)y的最大值以及此時對應(yīng)的寬是多少．
解答： 解：（1）∵長方體的寬為x，長為2x，
∴高為
1
4
（18-4x-4×2x）=
1
2
（9-6x）（0＜x＜
3
2
）；
∴它的體積為y=2x•x•
1
2
（9-6x）=-6x3+9x2，定義域是（0，
3
2
）；
（2）∵y=-6x3+9x2，（其中0＜x＜
3
2
），
求導(dǎo)數(shù)，得y′=-18x2+18x，
令y′=0，解得x=0，或x=1；
∴當(dāng)0＜x＜1時，y′＞0，函數(shù)y是增函數(shù)，
當(dāng)1＜x＜
3
2
時，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)y取得最大值，是ymax=-6×13+9×12=3．
即寬為1時，長方體的體積最大，最大體積是3．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性與求最值的問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=2x2-1在區(qū)間[a，b]上有最小值-1，則下面關(guān)系一定成立的是（　�。�
A、a≤0＜b或a＜0≤b
B、a＜0＜b
C、a＜b＜0或a＜0＜b
D、0＜a＜b或a＜b＜0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實(shí)數(shù)x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，求f（13）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系下，設(shè)圓C：ρ=2cosθ-4sinθ，試求：
（1）圓心的直角坐標(biāo)表示；
（2）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線C經(jīng)過變換μ：
x′=2x-2
y′=3y+6
得到曲線C′，則曲線C′的軌跡是什么圖形？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜
π
2
）的一段圖象如圖所示，根據(jù)圖象求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知an=n2+n，bn=（-1）n-1，（n∈N*），設(shè)cn=
(2n+1)bn
an
，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：T2n＜1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的是
 

①常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列
②實(shí)數(shù)等差數(shù)列中，若公差d＜0，則數(shù)列必是遞減數(shù)列
③實(shí)數(shù)等比數(shù)列中，若公比q＞1，則數(shù)列必是遞增數(shù)列
④首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=
a1(1-qn)
1-q

⑤若數(shù)列an=n2+λn（n∈N*）為單調(diào)遞增數(shù)列，則λ的取值范圍是λ＞-3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，a1=2，an=2an-1+2n（n≥2）
（1）求證：{
an
2n
}為等差數(shù)列；
（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

利用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1），n∈N*”時，從假設(shè)n=k推證n=k+1成立時，可以在n=k時左邊的表達(dá)式上再乘一個因式，多乘的這個因式為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案