已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
2
=1（a2＞2）的右焦點(diǎn)F到直線x-y+2
2
=0的距離為3．
（1）橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+1，使l與橢圓C交于兩不同的點(diǎn)M、N，且|FM|=|FN|？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：
分析：（1）通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意得b=
2
，再由a、b、c之間的關(guān)系點(diǎn)到直線的距離公式，求出a2=4，從而得到橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在直線l，使存在直線l與橢圓C交于兩不同的點(diǎn)M、N，且|FM|=|FN|，
設(shè)MN中點(diǎn)為H則FH⊥l，把直線l的方程代入橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由題意知判別式大于0，設(shè)出H、F的坐標(biāo)，利用kFH•k=-1，求解直線l的斜率，進(jìn)而得到結(jié)果．
解答： 解：（1）由題意，F(xiàn)（c，0），
∵橢圓右焦點(diǎn)F到直線x-y+2
2
=0的距離為3，
∴
|c+2
2
|
2
=3，
∴c=
2
，
a2-2
=
2
，解得a2=4，
∴橢圓C的方程為：
x2
4
+
y2
2
=1
（2）假設(shè)存在直線l與橢圓C交于兩不同的點(diǎn)M、N，且|FM|=|FN|，
設(shè)MN中點(diǎn)為H則FH⊥l，
由
y=kx+1
x2
4
+
y2
2
=1
得（1+2k2）x2+4kx-2=0
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（
-2k
1+2k2
，
1
1+2k2
）
∵點(diǎn)F（
2
，0）∴kFH=
1
1+2k2
-0
-2k
1+2k2
-
2
=-
1
2
2
k2+2k+
2

∵FH⊥l
∴kFH•k=-1，即2
2
k2+k+
2
=0，
∵2
2
k2+k+
2
=0無(wú)解，
∴不存在直線l與橢圓C交于兩不同的點(diǎn)M、N，且|FM|=|FN|．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)注方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩直線垂直的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（cos（x-
π
6
），0），
n
=（2，0），x∈R，函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（π）的值；
（3）若f（α+
2π
3
）=
6
5
，α∈（-
π
2
，0），求f（2α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=
lnx-2x
x
的圖象在點(diǎn)（1，-2）處的切線方程為（　�。�
A、2x-y-4=0
B、2x+y=0
C、x-y-3=0
D、x+y+1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線
x2
4-v
+
y2
1-v
=1(1＜v＜4)有公共焦點(diǎn)，過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)B任意作直線l，設(shè)直線l交拋物線y2=2x于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)R（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且△OMN的面積最大？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OMN的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex+ax（a∈R），g（x）=exlnx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線為l，點(diǎn)（1，0）到直線l的距離為
2
2
，求a的值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直線l：x-y+9=0上任取一點(diǎn)M，過(guò)M作以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）為焦點(diǎn)的橢圓，當(dāng)M在什么位置時(shí)，所作橢圓長(zhǎng)軸最短？并求此橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)p、q（p＞1且q＞1）使a1、ap、aq成等比數(shù)列？若存在，求出所有這樣的等比數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2與x軸垂直的直線與橢圓交于S，T，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=2
2
|ST|．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A和B，且滿(mǎn)足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)變量x，y滿(mǎn)足|x|+|y|≤1，則x+2y的取值范圍為
 
．

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