Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

）（ω＞0，x∈R）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）圖象的對(duì)稱中心；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=3，且BC=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計(jì)算題

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求得函數(shù)的周期進(jìn)而求得ω得到函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得圖象的對(duì)稱中心．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式，根據(jù)f（A）=3求得A，然后根據(jù)余弦定理即基本不等式的知識(shí)，求得bc的范圍，最后用bc表達(dá)出面積，根據(jù)bc的范圍求得面積的最大值．

解答： （Ⅰ）解：依題意，f（x）的周期為2π，
則ω=

2π

T

，
∴f（x）=2

3

sin（x+

π

3

），
令x+

π

3

=kπ，得x=kπ-

π

3

，
∴f（x）的對(duì)稱中心為（kπ-

π

3

，0）．
（Ⅱ）△ABC中，由f（A）=2

3

sin（A+

π

3

）=3，得sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，
由余弦定理得b²+c²-（

3

）²=2bccos

π

3

，
∴b²+c²=bc+3，
∵b²+c²≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立），
∴bc+3≥2bc，
∴bc≤3，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3

4

bc≤

3 3

4

（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），
∴△ABC的面積的最大值為

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)、解三角形、重要不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．