Question

在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，

CO

=x

CA

+y

CB

且x+y=1，函數(shù)f(m)=|

CA

-m

CB

|的最小值為

3

2

，則|

CO

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，函數(shù)f（m）的最小值為

3

2

．利用數(shù)量積的性質(zhì)可得∠ACB，進而再利用數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，函數(shù)f（m）的最小值為

3

2

．
∴函數(shù)f(m)=|

CA

-m

CB

|=

CA 2+m2 CB 2-2m CA • CB

=

1+m2-2mcos∠ACB

≥

3

2

，
化為4m²-8mcos∠ACB+1≥0恒成立．
當(dāng)且僅當(dāng)m=

8cos∠ACB

8

=cos∠ACB時等號成立，代入得到cos∠ACB=-

1

2

，∴∠ACB=

2π

3

．
∴|

CO

|2=x2

CA

2+y2

CB

2+2xy

CA

•

CB

=x2+y2+2xy×cos

2π

3

=x²+（1-x）²-x（1-x）=3(x-

1

2

)2+

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

=y時，|

CO

|2取得最小值

1

4

，
∴|

CO

|的最小值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．