Question

已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，

OA

=（-2，m），

OB

=（n，1），

OC

=（5，-1），且

OA

⊥

OB

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）設(shè)△OAC的重心為G，若存在實(shí)數(shù)λ，使

OB

=λ

OG

，試求∠AOC的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知向量的坐標(biāo)求出

AC

，

AB

的坐標(biāo)，由

AC

∥

AB

列關(guān)于m，n的方程組，再由

OA

⊥

OB

得到關(guān)于m，n的另一方程組，聯(lián)立后求得m，n的值；
（2）由△OAC的重心為G，結(jié)合

OB

=λ

OG

可知B為AC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合（1）中的結(jié)果得到m，n的值，得到

OA

，

OC

的坐標(biāo)，然后代入平面向量的數(shù)量積公式求得∠AOC的大�。�

解答： 解：（1）由于A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，則

AC

∥

AB

，
而

AC

=

OC

-

OA

=(7，-1-m)，

AB

=

OB

-

OA

=(n+2，1-m)，
∴7（1-m）-（-1-m）（n+2）=0，即9-5m+mn+n=0，
又

OA

⊥

OB

，∴-2n+m=0，
聯(lián)立方程組

9-5m+mn+n=0 -2n+m=0

，解得

m=6 n=3

或

m=3 n= 3 2

；
（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使

OB

=λ

OG

，則B為AC的中點(diǎn)，故m=3，n=

3

2

．
∴

OA

=(-2，3)，

OC

=(5，-1)．
∴cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

-13

13 • 26

=-

2

2

，
∴∠AOC=

3π

4

．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線和向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了利用數(shù)量積公式求向量的夾角，解答此題的關(guān)鍵是由△OAC的重心為G，且

OB

=λ

OG

得到B為AC的中點(diǎn)，是中檔題．