Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2-48n
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ） 數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？如不是，請說明理由；如是，請給出證明，并求出該等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差；
（Ⅲ）討論S_n的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
（II）利用等差數(shù)列的定義即可得出．
（III）利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1-48=-47；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-48n-[（n-1）²-48（n-1）]=2n-49．
上式對于n=1時也成立，因此a_n=2n-49．
（II）當(dāng)n≥2時，a_n-a_n-1=2n-49-[2（n-1）-49]=2，
因此數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，該等差數(shù)列的首項(xiàng)a₁=-47，公差d=2．
（III）∵Sn=n2-48n=（n-24）²-576，
可知二次函數(shù)f（x）=（x-24）²-576的對稱軸為x=24．
∴當(dāng)1≤n≤24（n∈N^*）時，S_n單調(diào)遞減；當(dāng)24≤n（n∈N^*）時，S_n單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查了“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等差數(shù)列的定義、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．