Question

9．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=a（a＞0），直線l的極坐標(biāo)方程是$ρsin（θ+\frac{π}{3}）$=1，曲線C₂與直線l有二交點(diǎn)A，B．
（1）求C₂與l的普通方程，并求a的取值范圍；
（2）設(shè)P為C₁上任意一點(diǎn)，當(dāng)a=2時(shí)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，圓的方程為x²+y²=4．弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-px5pjbz^{2}}$．P為C₁上任意一點(diǎn)，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），則點(diǎn)P到直線l的距離h═$\frac{|5sin（φ+α）-2|}{2}$$≤\frac{7}{2}$，即可得出△PAB面積的最大值S=$\frac{1}{2}{h}_{max}$|AB|．

解答 解：（1）曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=a（a＞0），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=a²．
直線l的極坐標(biāo)方程是$ρsin（θ+\frac{π}{3}）$=1，展開化為：$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=1，可得直角坐標(biāo)方程：$y+\sqrt{3}x$-2=0．
∵曲線C₂與直線l有二交點(diǎn)A，B．
∴圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=1＜a，
∴a的取值范圍是a＞1．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，圓的方程為x²+y²=4．
弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-z51f7xl^{2}}$=$2\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$．
∴P為C₁上任意一點(diǎn)，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
則點(diǎn)P到直線l的距離h=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}cosφ+4sinφ-2|}{2}$=$\frac{|5sin（φ+α）-2|}{2}$$≤\frac{7}{2}$，
∴△PAB面積的最大值S=$\frac{1}{2}{h}_{max}$|AB|=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長問題、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．