Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|-m
（Ⅰ）若函數(shù)$y=\sqrt{f（x）}$的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若$f（x）≥\frac{9}{m}$對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的意義求得（|x+1|+|x-5|）_min，可得m的范圍．
（Ⅱ）不等式等價(jià)于m+$\frac{9}{m}$≤6，當(dāng)m＜0時(shí)，上式成立； 當(dāng)m＞0時(shí)利用基本不等式可得m=3時(shí)，m+$\frac{9}{m}$≤6成立，綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若函數(shù)$y=\sqrt{f（x）}$的定義域?yàn)镽，則m≤|x+1|+|x-5|對x∈R恒成立，
所以m≤（|x+1|+|x-5|）_min，又|x+1|+|x-5|≥|x+1-（x-5）|=6，所以m≤6，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，6]．
（Ⅱ）$f（x）≥\frac{9}{m}$對任意的實(shí)數(shù)x恒成立$?|x+1|+|x-5|≥m+\frac{9}{m}$對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，$?m+\frac{9}{m}≤6$，
當(dāng)m＜0時(shí)，上式成立；   當(dāng)m＞0時(shí)$m+\frac{9}{m}≥2\sqrt{m•\frac{9}{m}}=6$，當(dāng)且僅當(dāng)$m=\frac{9}{m}$，即m=3時(shí)上式取等號；
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）∪{3}．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．