Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1
（1）求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)f（a）=

9

5

，且

π

6

＜α＜

2π

3

時(shí)，求sin（2α+

2π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系式，即可求求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1=sin（x+

π

3

）+1，
∵-1≤sin（x+

π

3

）≤1，則∵0≤sin（x+

π

3

）+1≤2，
函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，k∈Z．
（2）由f（a）=sin（α+

π

3

）+1=

9

5

，得sin（α+

π

3

）=

4

5

，
∵

π

6

＜α＜

2π

3

，∴

π

2

＜α+

π

3

＜π時(shí)，得cos（α+

π

3

）=-

3

5

，
∴sin（2α+

2π

3

）=sin2（α+

π

3

）=2sin（α+

π

3

）cos（α+

π

3

）=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)求值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．