Question

20．設(shè)f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，如果對(duì)任意的x∈[0，2]，不等式f（1-kx）＞f（2+x²）都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)任意的x∈[0，2]，不等式f（1-kx）＞f（2+x²）都成立，等價(jià)于對(duì)任意的x∈[0，2]，不等式1-kx＜2+x²恒成立，分類討論，分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求k的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，對(duì)任意的x∈[0，2]，不等式f（1-kx）＞f（2+x²）都成立，
∴對(duì)任意的x∈[0，2]，不等式1-kx＜2+x²恒成立，
x=0，滿足；
x∈（0，2]，時(shí)，-k＜x+$\frac{1}{x}$恒成立
∴-k＜2，
∴k＞-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查單調(diào)性，考查不等式恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的x∈[0，2]，不等式1-kx＜2+x²恒成立是關(guān)鍵．