Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，證明有極小值點，且；

（Ⅱ）證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得，分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，結(jié)合零點存在定理可證得結(jié)論成立；

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)證明出，由此可得出結(jié)論.

（Ⅰ）當時，，該函數(shù)的定義域為，.

所以函數(shù)在為增函數(shù)，且，，

于是存在使，且當時，；當時，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的極小值點，且；

（Ⅱ）先證明不等式.

構(gòu)造函數(shù)，，則，令，得.

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)的最小值為，；

接下來證明不等式.

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令得.

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)的最小值為，.

所以，，，即，

因此，.