Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（1）=0，則不等式f（log_0.5x）＜0的解集為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出不等式的解集．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（1）=0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，且f（-1）=f（1）=0，
若log_0.5x＞0，則不等式f（log_0.5x）＜0等價(jià)為f（log_0.5x）＜f（1），
即log_0.5x＞1，此時(shí)解得0＜x＜0.5．
若log_0.5x＜0，則不等式f（log_0.5x）＜0等價(jià)為f（log_0.5x）＜f（-1），
即log_0.5x＞-1=log_0.52，此時(shí)解得1＜x＜2．
綜上不等式的解為0＜x＜0.5或1＜x＜2，
故答案為：{x|0＜x＜0.5或1＜x＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式的解法，利用對(duì)數(shù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．