Question

設函數(shù)f（x）=-a+

-x2+4x

，g（x）=ax+a，若恒有f（x）≤g（a）成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先求函數(shù)f（x）的定義域，確定x的范圍，化簡f（x）≤g（a）為a≥

-x2+4x

x+2

，令t=x+2，構造函數(shù)h（t）=

-t2+8t-12

t

，化簡后得h（t）=

-12( 1 t - 1 3 )2+ 1 3

，根據(jù)t的范圍求h（x）的最大值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=-a+

-x2+4x

，
∴-x²+4x≥0
解得0≤x≤4，
∵f（x）=-a+

-x2+4x

，g（x）=ax+a，
∴f（x）≤g（a）可化為
-a+

-x2+4x

≤ax+a，
即

-x2+4x

≤（x+2）a
∵x+2＞0
∴a≥

-x2+4x

x+2

，…①
令t=x+2，則2≤t≤6，
①式可化為，a≥

-(t-2)2+4(t-2)

t

，
即a≥

-t2+8t-12

t

，
令h（t）=

-t2+8t-12

t

=

- 12 t2 + 8 t -1

=

-12( 1 t - 1 3 )2+ 1 3

，
∵2≤t≤6，
∴

1

6

≤

1

t

≤

1

2

，
∴h（t）在t=3時，取最大值，且h(3)=

3

3

，
∴a≥

3

3

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[

3

3

，+∞)．

點評：本題考查函數(shù)定義域，不等式的化簡，配方法求函數(shù)最大值的技巧，以及恒成立問題的轉化等綜合知識，屬于難題．