Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R），若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞

  1

  3

  或a＜-

  1

  3

• B、a＜

  1

  3

• C、a≠

  1

  3

• D、a＜-

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：直線x+y+m=0得直線斜率k=-1，若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則等價(jià)為f′（x）≠-1，恒成立，解不等式即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³-3ax，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3a≥-3a，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，
∴-3a＞-1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜

1

3

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．