Question

已知正四面體A-BCD的棱長為a，且a∈{x|x²-6x+5≤0}，則

AB

•（

AC

+

AD

）≥4的概率為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  2

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)已知條件求得棱長a所在的區(qū)間為[1，5]，然后求出

AB

•(

AC

+

AD

)=a²，所以由

AB

•(

AC

+

AD

)≥4得a≥2，且a≤5，即a∈[2，5]，所以根據(jù)幾何概型的概率公式得：P=

5-2

5-1

=

3

4

．

解答： 解：取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，則AE=BE=

3

2

a，又AB=a；
∴由余弦定理得：cos∠BAE=

a2+( 3 a 2 )2-( 3 a 2 )2

2a• 3 a 2

=

1

3

；
又

AC

+

AD

=2

AE

，∴

AB

•(

AC

+

AD

)=2a•

3 a

2

•

1

3

=a2；
∵a∈{x|x²-6x+5≤0}=[1，5]
∴棱長a所在的區(qū)間為[1，5]，由

AB

•(

AC

+

AD

)≥4得a²≥4，∴a≥2，且a≤5，即

AB

•(

AC

+

AD

)≥4所對應(yīng)的棱長a所在區(qū)間為[2，5]；
∴根據(jù)幾何概型的概率公式得，

AB

•(

AC

+

AD

)≥4的概率為：

5-2

5-1

=

3

4

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查正四面體的圖形特點(diǎn)，向量加法的平行四邊形法則，余弦定理，向量的數(shù)量積，幾何概型的概率公式．