Question

15．如圖．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和是4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：x=1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，P點(diǎn)位于第一象限，A、B是橢圓上位于直線l兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和是4、利用橢圓定義可知a=2，通過離心率e=$\frac{1}{2}$可知b²=3，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）由（1）可知y_P=$\frac{3}{2}$，通過設(shè)T（1，t）（-$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$），利用過點(diǎn)T的直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$可知直線AB方程為x-2y+2t-1=0，進(jìn)而可知點(diǎn)P到直線AB的距離d_P=$\frac{3-2t}{\sqrt{5}}$、點(diǎn)Q到直線AB的距離d_Q=$\frac{3+2t}{\sqrt{5}}$，通過聯(lián)立直線AB與橢圓方程、利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可知|AB|²=5•$\frac{-12{t}^{2}+12t+45}{16}$，利用S_{四邊形APBQ}=$\frac{1}{2}$•|AB|•（d_P+d_Q）計(jì)算可知S_{四邊形APBQ}=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$•$\sqrt{-4{t}^{2}-4t+15}$，通過配方可知f（t）=-4t²+4t+15在t=$\frac{1}{2}$時(shí)取最大值16，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C上一點(diǎn)M到左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和是4，
∴2a=4，即a=2，
又∵離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{4-^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$，即b²=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）依題意，$\frac{1}{4}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{3}=1$，解得：y_P=$\frac{3}{2}$，
設(shè)T（1，t），則-$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$，
∵過點(diǎn)T的直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，
∴直線AB方程為：x-2y+2t-1=0，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離d_P=$\frac{|2t-3|}{\sqrt{1+（-2）^{2}}}$=$\frac{3-2t}{\sqrt{5}}$，
點(diǎn)Q到直線AB的距離d_Q=$\frac{|2t+3|}{\sqrt{1+（-2）^{2}}}$=$\frac{3+2t}{\sqrt{5}}$，
聯(lián)立直線AB與橢圓方程，消去x整理得：
16y²-12（2t-1）y+12t²-12t-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6t-3}{4}$，y₁y₂=$\frac{12{t}^{2}-12t-9}{16}$，
∴$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$
=$\frac{36{t}^{2}-36t+9}{16}$-4•$\frac{12{t}^{2}-12t-9}{16}$
=$\frac{-12{t}^{2}+12t+45}{16}$，
∴|AB|²=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$+$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=5$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$，
∴S_{四邊形APBQ}=$\frac{1}{2}$•|AB|•（d_P+d_Q）
=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{-12{t}^{2}+12t+45}{16}}$•（$\frac{3-2t}{\sqrt{5}}$+$\frac{3+2t}{\sqrt{5}}$）
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$•$\sqrt{-4{t}^{2}-4t+15}$，
記f（t）=-4t²+4t+15=-4•$（t-\frac{1}{2}）^{2}$+16，
則當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（t）取最大值16，此時(shí)S_{四邊形APBQ}取最大值，
∴四邊形APBQ面積取最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$•$\sqrt{16}$=$3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．